8 - gli orbitali

Ma che utilità ha per noi la funzione d'onda y che è una funzione matematica?

Immaginiamo che l'elettrone sia rappresentabile da una carica elettrica dispersa nello spazio: allora, per ogni punto identificato dalle coordinate (x,y,z), il valore y2 è proporzionale alla densità di carica in quel punto; oppure, preso un volume dt piccolo a piacere, y2dt rappresenta una misura della probabilità di trovare l'elettrone in quel volume dt.

Per ottenere la probabilità di trovare l'elettrone in una certa regione dello spazio occorre calcolare l'integrale òy2dt esteso a tutta la regione che interessa.

 

Chiameremo così "orbitale" una regione dello spazio delimitata da una superficie a uguale y2 e, al cui interno, la probabilità di trovare l'elettrone sia, per esempio, 90% (se volessimo 100% dovremmo considerare "tutto" lo spazio).

Questa "definizione" sarà da noi usata per rappresentare graficamente gli orbitali; y rappresenta perciò, per noi, soprattutto una funzione di probabilità.

 

L'orbitale 1s è così rappresentabile come una sfera che contiene il 90% di carica elettronica. Il 2s è simile all'1s ma di dimensioni maggiori. Al crescere di n, numero quantico principale, crescono le dimensioni.

 

All'aumentare di n aumenta E degli orbitali, finché per n=¥, E=0; l'elettrone non è più legato al nucleo e la sua energia non è più quantizzata ma continua.

 

l, numero quantico secondario, indica la forma degli orbitali, mentre m, numero quantico magnetico, caratterizza le orientazioni.

 

Vediamo qualche raffigurazione di orbitali, rappresentati come sezioni della superficie di contorno a y2 costante.

Fig.8.1 Orbitali di tipo s rispetto alle coordinate cartesiane.

Tutti gli orbitali di tipo s hanno simmetria sferica e la loro funzione d'onda è sempre positiva; per ottenere la forma tridimensionale dell'orbitale basta pensare ad una rotazione di 180° attorno ad un asse qualsiasi.

Le dimensioni aumentano all'aumentare del numero quantico n.

orbitali s

 

Fig.8.2 Orbitali di tipo p rispetto alle coordinate cartesiane.

La simmetria è assiale; ogni orbitale p ha un piano nodale (in cui la funzione y si annulla, dato che cambia di segno e perciò anche y2 assume il valore zero) perpendicolare al suo asse.

L'orbitale tridimensionale si può generare per rotazione attorno al suo asse di simmetria.

Anche nel caso degli orbitali p le dimensioni aumentano all'aumentare del numero quantico n.

orbitali p

 

Fig.8.3 Tre orbitali di tipo d, simili tra loro, rispetto alle coordinate cartesiane.

Ognuno di questi orbitali d ha due piani nodali: per il dyz, per esempio, sono i due piani xy e xz.

3 orbitali d...

 

Fig.8.4 Gli altri due orbitali di tipo d rispetto alle coordinate cartesiane.

Il primo a sinistra ha 2 piani nodali, perpendicolari a quello del disegno e che comprendono le bisettrici degli assi x y; il secondo una superficie nodale conica con il vertice all'incrocio degli assi cartesiani, dato che la parte di orbitale che giace sul piano xy ha struttura toroidale, con asse di simmetria z.

e gli altri 2 orbitali d

 

Negli orbitali f, che non vengono rappresentati perché piuttosto complessi (hanno generalmente 8 lobi), esistono tre piani nodali o superfici nodali complicate, rappresentate da funzioni matematiche di terzo grado; ciò è legato al valore del numero quantico l= 3, come per l=2 c'erano 2 piani nodali e superfici coniche (perciò di secondo grado).

 

Che significato hanno queste rappresentazioni grafiche degli orbitali? Esse indicano la superficie che racchiude una regione di spazio entro cui abbiamo una certa probabilità (il 90% o altro valore inferiore a 100) di trovare l'elettrone; i disegni rappresentano ovviamente sezioni di queste regioni di spazio.

 

Esistono anche altri tipi di rappresentazione. Vediamone alcune per uno stesso orbitale, per esempio un 2pz:

Fig.8.5 Vari tipi di rappresentazione degli orbitali, legati al loro campo di utilizzo. Gli esempi sono relativi a un orbitale pz sul piano xz (l'immagine tridimensionale si ottiene per rotazione attorno all'asse z).

 

a) rappresenta un diagramma polare di ampiezza

b) rappresenta un diagramma polare di probabilità (o di densità)

c) rappresenta una mappa di probabilità

varie rappresentazioni di orbitali p

In a) la lunghezza del raggio vettore nella direzione definita da J è proporzionale al valore di y, in quella direzione; dà luogo a un lobo positivo e un lobo negativo, però non dice come varia l'ampiezza rispetto alla distanza dal nucleo.

In b) la lunghezza del raggio vettore è proporzionale a y2 nella direzione del vettore, sempre a distanza fissa dal nucleo. Anche questo non ci dice come varia y2 al variare della distanza. I lobi sono positivi poiché si tratta di y2 (infatti non esiste probabilità negativa) e sono regioni di densità elettronica.

In c) le curve (simili a isobare metereologiche o a curve di livello, isoipse) corrispondono alla probabilità di trovare l'elettrone nella zona ottenuta per rotazione attorno all'asse z, del 60%, del 70%, dell'80%, del 90%. Una variante di questa è il diagramma punteggiato.

 

Comunque noi li rappresentiamo, gli orbitali hanno il carattere di artifici matematici più che di entità fisiche, ma ogni rappresentazione può avere un significato ed una utilità diversa.

 

Il termine "orbitale" è stato introdotto nel 1932 da Robert Mulliken (nato nel 1896; premio Nobel nel 1966) come abbreviazione di "One-electron Orbital Wave Function".

Ma perché "one-electron", monoelettronica?

Perché yx,y,z dipende dalle coordinate di un solo elettrone: la descrizione infatti è rigorosa solo per atomi con un solo elettrone (come H o He+); per gli altri atomi è una approssimazione (che si può comunque considerare generalmente valida), poiché si trascura la repulsione tra gli elettroni.

Occorre ricordare poi che la scelta della terna di assi è arbitraria, in assenza di campi; perciò la simmetria di densità elettronica in un atomo isolato appare sempre sferica, qualunque siano gli orbitali occupati degli atomi.

 

Abbiamo parlato di orbitali e non di "orbite"; ma la prima trattazione organica teorica dell'atomo di H è stata fatta sulla base delle orbite da Niels Bohr (1881-1962; premio Nobel nel 1992), che nel 1912 considerò l'atomo di H come un modello planetario, introducendo la quantizzazione (come dato sperimentale): nel suo modello l'elettrone percorre orbite circolari; ipotizzò la quantizzazione del momento angolare dell'elettrone e l'assorbimento e l'emissione di energia solo nel passaggio fra gli stati quantici.

Arnold Sommerfeld (1868-1951) generalizzò tale modello introducendo orbite ellittiche oltre a quelle circolari.

Questo modello poteva far pensare che fosse possibile determinare con esattezza, in ogni momento, la posizione dell'elettrone.

Werner Heisenberg (1901-1976; premio Nobel nel 1932), collaboratore di Bohr, nel 1925 formulò il principio di indeterminazione (o di incertezza), che rivoluzionò questo modo di pensare: il prodotto degli errori nella determinazione contemporanea della quantità di moto e della posizione di un corpo in movimento è almeno eguale ad h/2p.

Ciò vale per molte coppie di grandezze fisiche, per esempio per la posizione e la velocità di una particella lungo la direzione x:               Dx.Dpx   ³  h/2p

Risulta così impossibile "seguire" il percorso dell'elettrone; è invece possibile determinare la probabilità di trovare l'elettrone in uno spazio definito.


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